�������������� �����������III. La matematica tra istinto, linguaggio ed evoluzione

 

 

��������������������������������������������������� 3.1 Introduzione

 

��� In questo capitolo affronteremo nel dettaglio varie tesi sulla natura della matematica e sui suoi rapporti con la filosofia tradizionale, analizzando poi tre recenti indirizzi che giudichiamo interessanti e finendo con la nostra proposta. L�ordine con cui ne trattiamo riflette la nostra opinione sul loro livello di plausibilit� e profondit� teorica, tenendo conto che la matematica � fenomeno culturale assai complesso, proteiforme, plastico e mutevole, sicch� � assai difficile pensare che un unico indirizzo interpretativo sia quello giusto. N� la matematica � quella disciplina del tutto razionale come qualcuno pensa, avendo anzi la fantasia e la creativit� ruoli molto importanti negli sviluppi e elaborazioni di essa, s� che John Barrow pu� scrivere che anche il caso la concerne: Persino l�aritmetica contiene la casualit�. Alcune delle sue verit� possono essere accertate solo tramite la ricerca sperimentale e in questa luce la matematica comincia a rassomigliare ad una scienza sperimentale.[1] In ogni caso la sua complessit� ci impone di assumere un atteggiamento che ammetta diverse facce di un realt� poliedrica, poich� essa pu� essere vista nella struttura della materia, nella sua fenomenicit�, nel nelle cos, nei processi, nel cervello dell�uomo.

��� all�interno di tale quadro che l�indirizzo storicistica ci sembra interessante ma troppo unilaterale e riduttivo, quello dell�embodiment molto innovativo ponendosi dal punto di vista delle scienze cognitive, quello che vede nell�istinto animale la fonte della matematica e l�evolvere del cervello come motore dei suoi sviluppi ci pare ben fondata soprattutto perch� analizza la matematica sotto il profilo evoluzionistico. Tutti e tre gli atteggiamenti considerati hanno il pregio di usciere dalle palude delle interpretazioni metafisiche e tendenti a guardare al fatto matematico �in s� ed al �fare� matematica da parte dell�uomo in una prospettiva anti-fondazionale, contingente, utilitaristica, evolutiva. Il primo (� 3.2) facendone una questione eminentemente storico-culturale, il secondo (� 3.3) biologico-funzionale e di pratica esistentiva,il terzo (� 3.4) linguistico-evoluzionistico. Echi di esse si coglieranno anche nella nostra proposta che esponiamo al � 3.5, dove sostanzialmente consideriamo la matematica come linguaggio della pluralit� discreta e diveniente. Ci� che possiamo anticipare � che, siccome i tre atteggiamenti considerati, non si occupano molto della realt� fisica in rapporto alla matematica, sar� questo il nostro tema principale, cui cercheremo di dare adeguato sviluppo in accordo con le altre tesi di questo saggio, tutte concorrenti al pluralismo ontofisico.���

 

 

 

3.2La matematica come espressione storico-socio-culturale

 

��� Vedere la matematica come fenomeno evolutivo in funzione del contesto culturale � fumo negli occhi non solo per i platonisti e i logicisti, ma di tutti coloro che non possono tollerare che essa venga ridotta alla stregua di qualsiasi altra espressione contingente. Abbiamo scelto, quale esponente di questa corrente Reuben Hersh, che definisce la sua posizione �umanista�. Leggiamo:

 

Sono un difensore della necessit� di una visione storica della matematica. � dunque naturale che faccia una disamina storica delle varie filosofie della matematica. Scopriremo cos� che il fondazionalismo e il neofregeanesimo sono i discendenti di una corrente di filosofia della matematica tinta di toni religiosi e teologici che ha attraversato secoli e millenni. [2]��

 

Il Nostro aggiunge:

 

Non si sente ormai pi� parlare dei Cieli e della Mente di Dio nel discorso accademico. Eppure la maggior parte dei matematici e dei filosofi della matematica continuano a credere in un mondo indipendente, astratto, immateriale: un relitto dell�Iperuranio. [3]

 

Il mondo superno �al di l� del cielo� inventato da Platone (Fedro, 247 c-d) ) per metterci dentro tutte le idee, sacre, eterne e immutabili, accoglie quelle numeriche e geometriche come le pi� alte.Hersh vede bene questa base religiosa del matematismo platonista che oggi � anche uno degli ingredienti di un Intelligent Design che non pu� fare a meno di considerare l�universo perfetto. Perci�, solo se perfetto, matematico e legificato il cosmo � necessitato a rispondere a Dio quale suo Creatore, altrimenti la casualit� potrebbe insinuarsi a smontare il perfetto giocattolo. Prosegue Hersh: �I platonisti non riconoscono le obiezioni al platonismo. Si limitano ribadire la loro confessione di fede. Il punto di vista di Frege continua a vivere ancor oggi tra i platonisti insiemistici [i seguaci di Cantor].� [4]

��� Il punto di vista del Nostro � sintetizzato nella breve frase: �Una volta che siano stati creati e socialmente comunicati, gli oggetti matematici esistono.� [5] L�esistenza di tali oggetti nasce con la loro creazione, ma essi �esistono� nel momento in cui, venendo comunicati e imposti, diventano oggetti storicizzati dalla cultura e, in un certo senso, �battezzati� come �essenze� aventi un nome. A ben vedere, tale esistenza nasce proprio con la �nominazione� attraverso la quale i platonisti e i loro derivati individuano essenze reali in numeri battezzati con un nome e cos� �individuati�. Abbiamo cos� i �naturali�, i �razionali�, gli�irrazionali�, i �reali, i �complessi�, i �quaternioni�, gli �ottonioni, ecc., senza che tali aggettivi significhino assolutamente nulla al di fuori di una gergalit� gnostica. Hersh ne fa una questione evolutiva affermando:

 

La matematica fa parte della cultura e della storia umane, ed � dunque radicata nella nostra natura biologica e nel nostro ambiente fisico e biologico. Le nostre idee matematiche si adattano al mondo reale per lo stesso motivo per cui i nostri polmoni riescono a respirare l�atmosfera terrestre[6]

 

I concetti matematici, una volta creati e imposti nel linguaggio, subirebbero un processo quasi-biologico di adattamento ad un ambiente naturale che si trasforma con le nostre idee, sicch� i numeri divengono strumenti per riplasmare l�ambiente in funzione dell�uomo. La matematica quindi non � nella natura, ma questa diventa matematica poich� l�uomo la riqualifica come talea proprio uso e consumo. Tesi un poco estremistica ma non priva di fondamento, e Hersh spiega perch� le strutture matematiche siano coerenti e contengano al loro interno dei meccanismi correttivi tali da evitare contraddizioni:

 

La logica classica dice che tutte le conseguenze di un dato sistema di assiomi esistono, sono derivate, istantaneamente, nel momento in cui vengono stabiliti gli assiomi. Esiste per� un numero infinito di conseguenze. Un�intera teoria infinita verrebbe creata istantaneamente! La coerenza o sussiste, o viene violata immediatamente, istantaneamente. Ci� che avviene in pratica, per�, � che le conseguenze vengono derivate passo dopo passo. In ogni istantece n�� solo un numero finito che sono state dedotte dagli assiomi. Se si manifesta una contraddizione, si inventa un qualche meccanismo per isolarla e tener il resto della teoria lontano da infezione. [7]

 

Un impianto matematico non entra mai in crisi, poich� vengono sempre inventati espedienti per mantenerlo �in coerenza� attraverso l�isolamento di ci� che sarebbe di disturbo.

�� Reuben Hersh ci ricorda che gi� nel 1954 George Pόlya aveva affermato in Mathematics and Plausibile Reasoning: �La matematica nel suo farsi assomiglia ad ogni altra attivit� umana. Si deve indovinare il teorema prima di poterlo dimostrare.� Esiste un retrobottega della matematica in cui la si lavora e la si confeziona nel modo pi� opportuno e convincente, sino al punto di farne un entit� trascendente, un po� come il manicaretto del bravo cuoco che non lascia capire quali siano gli ingredienti, realizzando un�entit� culinaria �unica� e �perfetta�. � attraverso tali caratteristiche di unit� e perfezione che nasce, secondo il Nostro, la mitologia della matematica e la sua divinizzazione in 4 miti principali: l�unit�, l�universalit�, la certezza e l�oggettivit� [8].Miti dotati della loro brava �aura�, che Hersh prova a smontare, concludendo:

 

Delle tre scuole storiche, solo l�intuizionismo presta attenzione a che produce la matematica. I formalisti, i logicisti e i platonisti si siedono a una tavola apparecchiata con rigoroso gusto, e mangiando il rag� ne discutono come se si trattasse di una cosa che si � fatta da sola. [9]

 

Riprendendo la metafora culinaria possiamo dire che la matematica, se ben cucinata diventa universale-certa-oggettiva da sembrare un pezzo di Creato e opera diretta di una Necessit� o di una Volont�. Questo modo di concepire la matematica, come strutturale a una realt� sacrale, o perch� deterministicamente �necessaria� (afferente il Dio-Necessit� impersonale ) o perch� sortita dalla mente di Qualcuno (il Dio-Volont� personale), � tutt�ora fortissimo. Quest�interpretazione dominante e usuale, da millenni, viene definita da Hersh corrente: �Per filosofie correnti intendo, come al solito, il costruttivismo, il platonismo e il formalismo.� [10]

��Vediamo ora come � vista la genesi del fondazionalismo matematico (quello che Lakatos riferisce a Frege, Russell e Brower):

 

Il fondazionalismo ha radici antiche. Dietro a Frege, Gilbert e Brouwer sta Immanuel Kant. E dietro a Kant stanno Leibniz, Spinoza, Descartes. E dietro a tutti costoro stanno San Tommaso e sant�Agostino e Platone. E in gran patriarca del fondazionalismo, Pitagora di Samo. Scopriremo che le radici del fondazionalismo si mescolano di religione e teologia. In Pitagora e Platone quest�intima mescolanza � manifesta. In Kant � seminascosta. In Frege a prima vista non si vede. Ma in Georg Cantor, Bertrand Russell, David Hilbert e Luitjens Brouwer, salta fuori quanto meno ce la si aspetta.[11]

 

� evidente che si sta parlando di �grandi� della matematica, quelli che hanno molto spazio nei saggi e nelle enciclopedie ed anche omaggiati col titolo di �filosofi�. N� ci� vale meno per personaggi pi� vicini a noi, s� che giustamente Hersh accresce la lista di alcuni: � Nel XX secolo considereremo Russell, Brouwer, Hilbert, Edmund Husserl, Ludwig Wittgenstein [12], Kurt G�del, Rudolf Carnap, Willard V.O.Quine un piccolo campione di autori contemporanei.� [13] Compare qui indicata, se pur incompleta, la folta schiera di metafisici che hanno alimentato lacorrente teologia della matematica in cui siamo immersi e creato le correnti concezioni matematiche che dominano ancora oggi la scena culturale. Non � difficile comprendere quanto queste concezioni, proprio perch� dominanti la nostra cultura, l�abbiano permeata a tal punto che si d� quasi per scontato che la verit� sulla natura della matematica debba stare all�interno di esse.��

��� Hersh passa poi ad enunciare la sua concezione umanistica della matematica, che vede strettamente legata al suo insegnamento, nella realizzazione del quale il concepire la matematica come trascendente la natura umana ha effetti negativi poich�: �Il platonismo pu� giustificare la convinzione di uno studente che per lui sia impossibile capire la matematica [�] L�elitismo pedagogico e il platonismo in filosofia si sposano tra loro.� [14]L�umanesimo matematico del nostro si oppone a tale concezione religiosa della matematica proponendone una che potremmo definire �laica� nei termini seguenti: �La filosofia umanista, invece, collega la matematica alle persone, alla societ�, alla storia. Non pu� fare danni paragonabili a quelli prodotti dal formalismo o dal platonismo. Pu� addirittura far del bene, restringendo il gap che separa lo studente da questa materia. [�] se gli insegnanti adottassero una filosofia umanista, l�educazione matematica ne trarrebbe beneficio.� [15]In fase di conclusione: �La linea che separa l�umanesimo dalla Corrente � qualcosa di pi� che un fatto di gusti filosofici. � legata alla religione e alla politica.�

���

 

���� 3.3Metafore matematiche ed embodiment.

 

��� La matematica � un linguaggio umano e in quanto tale ha origine e processi formativi analoghi a quello verbale e la tesi dell�embodiment del pensiero matematico si fonda sulla sua connessione con le funzioni corporee. Il termine inglese pu� esser tradotto con �incorporazione� o con �incarnazione�, i traduttori hanno optato per questo secondo termine e cos� embodied mind � tradotto con �mente incarnata�. La matematica embodied nasce dall�incontro alla Berkeley University di due cognitivisti, George Lakoff e Rafael E. N��ez. Il primo anche linguista, noto sin dagli anni �80 per i suoi studi sulla centralit� della metafora, che secondo lui riguarda ogni espressione umana [16]. N��ez � un neuroscienziato che si occupa dal 1992 dell�infinito matematico e dei meccanismi di elaborazione e apprendimento della materia. In Da dove viene la matematica con sottotitolo Come la mente embodied d� origine alla matematica la tesi cognitivo-linguistica dell�embodiment coniugata con la neurofisiologia determina l�embodied mathematics [17]. L�apporto di N��ez nasce dal suo rapporto con Francisco Varela (1946-2001), famoso gi� a met� degli anni �80 per aver firmato con Humberto Maturana due libri cult per la New Age. In Autopoiesi e cognizione: la realizzazione del vivente il giovane Varela e il suo maestro avevano creato quella teoria dell�autopoiesi che noi abbiamo altrove criticato per il suo sotteso vitalismo [18]. Tale teoria, negatrice dell�individualit�, vede la coscienza come auto-descrizione ricorsiva del s� [19] i riferimento all�immaterialismo di Berkeley e all�inogettivabilit� del cosmo. In L�albero della conoscenza il conoscere � un �crearsi conoscenza� [20] e comunicazioneattraverso un linguaggio a �struttura creazionale-evoluzionale� [21]

��� In seguito Varela con laneurofenomenologia avvia una linea di indagine con riferimenti a Husserl e prima della prematura morte aveva insegnato anche a Berkeley e qui conosciuto Lakoff e N��ez, discutendo con loro di temi di comune interesse e partecipando alla teoria dell�embodied mind. Il contenuto metaforico di ogni costruzione concettuale umana sostenuto da Lakoff dal 1980 vede la metafora quale strumento formativo di tutte le concettualizzazioni umane ad eccezione di quelle della fisica, essendo questa fondata non sul linguaggio ma nella realt� materiale. Una prima tesi vede il formarsi dei concetti come processo in buona parte inconscio, il che spiega perch� ci sfuggano connessioni tra campi differenti del conoscere, s� da farci pensare che un�idea nasca in un specifico mentre cos� non �. Affermano i Nostri:

 

Noi sosterremo che, per caratterizzare le idee matematiche, viene utilizzata gran parte dei meccanismi cognitivi non specificamente matematici. Essi includono meccanismi cognitivi ordinari, come quelli utilizzati per le seguenti idee quotidiane: le relazioni spaziali di base, i raggruppamenti, le quantit� piccole, il movimento, la distribuzione degli oggetti nello spazio, i cambiamenti, gli orientamenti dl corpo, le manipolazioni di base degli oggetti (per esempio le rotazioni e le dilatazioni), le azioni iterate, e cos� via. [22]

 

E ancora:

 

Le idee matematiche, come vedremo, sono spesso fondate sull�esperienza quotidiana. Molte idee matematiche sono modi per matematizzare idee ordinarie, come quando l�idea di derivata matematizza l�idea ordinaria di variazione istantanea. [23]

 

Lakoff e N��ez pongono quindi gli �schemi immagine�, tra i quali lo �schema contenitore� entra in moltissime percezioni e concettualizzazioni del reale che tendono a �fondersi� come conoscenza embodied essendo corpo e mente univoci:

 

Gran parte del nostro ragionamento astratto quotidiano viene generato tramite mappe metaforiche tra dom�ni. Per la verit�, molto di ci� che viene spesso detta inferenza logica � in realt� un�inferenza spaziale, proiettata su un dominio logico astratto. [24]

 

Le mappe sono contenitori di concetti categoriali per cui �Le categorie sono contenitori� e la processualit� del pensiero si pone a pi� livelli, da uno elementare innato ai pi� elaborati della matematica formale astratta quale mera �forma� dis-embodied. Il legante � il procedimento metaforico, sicch�: �Dal punto di vista della mente embodied, la logica spaziale � primaria e la logica astratta delle categorie � derivata in un secondo momento da quella, attraverso la metafora concettuale.� [25]

��� Le metafore concettuali non sono solo proiettive ma creano nuovi elementi che concrescono con quelli preesistenti in un processo che conduce a esiti molto sofisticati tali da apparirci avulsi dalla percezione del reale. Scrivono i Nostri:

 

La matematica estende l�uso dei numeri a molte altre idee, come per esempio lo studio numerico degli angoli (la trigonometria), lo studio numerico del cambiamento (l�analisi matematica), lo studio geometrico delle forme geometriche (la geometria analitica), e cos� via. [�] la metafora concettuale � il meccanismo cognitivo cruciale dell�estensione dall�aritmetica di base a tali applicazioni sofisticate dei numeri [�] una comprensione sofisticata dell�aritmetica stessa richiede metafore concettuali che fanno usa di dom�ni sorgenti matematici non numerici (per esempio, la geometria e la teoria degli insiemi). [�] La metafora concettuale � anche il meccanismo cognitivo principale nel tentativo di fornire alla matematica i fondamenti teorico-insiemistici, e nella comprensione della stessa teoria degli insiemi. [26]

 

La matematica � quindi un �procedere� di cui perdiamo i passaggi nell�inconsapevolezza di molti processi mentali svolgentisi in tempi a volte lunghissimi nelle stratificazioni filogenetiche-culturali. I dom�ni dell�esperienza dai quali si formano le metafore fondamentali sono quattro: la collezione di oggetti, la somma-sottrazione di oggetti da un contesto, l�uso di aste di misurazione, il nostro muoversi nello spazio:

 

Infine, dovrebbe diventare chiaro nel corso di questa discussione, che gran parte dell��astrazione� della matematica pi� specialistica sia una conseguenza della stratificazione sistematica di una metafora sull�altra, spesso nel corso dei secoli. Ogni strato metaforico, come vedremo, porta una struttura inferenziale sistematicamente da dom�ni sorgente a dom�ni obiettivo, struttura sistematica che viene persa nei vari strati, a meno che sia rivelata da un�analisi metaforica dettagliata. [27]

 

Tra dom�ni sorgente e dom�ni obiettivo c�� sviluppo dal semplice al complesso e dal percettivo all�astratto attraverso l�uso inconscio di metafore.

��� Il calcolo elementare si manifesta come subitizzazione, la capacit� mentale innata di riconoscere all�istante piccole quantit� di oggetti, osservata nei neonati e in animali come topi, pappagalli e soprattutto primati. Una sensibilit� alla �numerosit�� che fa stimare i �molti� in maniera che subitizzare e stimare sono un livello elementare di matematizzazione, cui si aggiungono capacit� non matematiche come il raggruppare, l�ordinare, il formare coppie, il memorizzare, il rilevare l�esaustione, l�assegnare un numero cardinale (ma non ordinale). Seguono: A. la capacit� di raggruppare combinatoriamente, B. di simbolizzare, C. la capacit� di metaforizzare e D. quella di operare miscele concettuali che connettono i diversi domini dell�esperire umano. Nascendo la matematica dal �collezionare oggetti�, la collezione vuota crea lo zero [28]. Ci� nasce dalla metafora �L�aritmetica � collezione di oggetti� per assenza di oggetti, ma anche dalla �Metafora dell�asta di misurazione� al suo inizio e dalla �Metafora del movimento� per partenza da fermo. Estendendo l�esercizio mentale all�1, nella prima metafora esso pu� significare �presenza minima di oggetti�, nella seconda �la tacca pi� in basso�, nella terza �il passo iniziale�.

��� La metafora �I numeri sono cose del mondo� genera operazioni su �oggetti tangibili� generando il principio di chiusura di serie numerica, da cui: A: Siccome la sottrazione 5 - 5 non d� un numero naturale bisogna chiudere con uno 0;B: Dal momento che 3 � 5 non � un numero naturale bisogna aggiungere i numeri negativi;C: Poich� 3 : 5 non d� un numero naturale occorre porre i numeri naturali (le frazioni); D: Siccome √ � non � un numero razionale bisogna aggiungere dei numeri irrazionali per formare numeri reali; E: dal momento che √-1 non � un numero reale bisogna porre i numeri immaginari per formare cos� i numeri complessi [29]. Le metafore sono fattori plastici, aperti, ampliabili, sicch� partendo da �L�aritmetica � moto lungo un percorso� si arriva al moto in due sensi, un punto -5 in una direzione ha il suo simmetrico +5 dall�altra. Da ci� la concettualizzazione di numeri positivi per punti di spazio a destra e negativi a sinistra. Per tendenze contrarie del moto un 3 + (-5) non pu� che fare -2 , e un (-4) � (-6) viene constatato come un +2, sicch� pi� in generale e in termini pi� astratti A + (-B) = A � B.

�� Circa l�origine dell�aritmetica Lakoff e N��ez sostengono che bisogna guardare alla quotidianit� come: 1�. subitizzazione spontanea del + e del � per collezioni di oggetti sino a 3; 2�. esperienze elementari come collezionare oggetti, costruirli e segmentare percorsi e corpi allungati; 3�. coniugazione di fatti del tipo 1� con fatti del tipo 2�;4�. elaborazione e fusione mentale tra esperienze diverse del tipo 2�;5�. sviluppi della subitizzazione in rapporto alla costruzione di oggetti; 6� estensioni delle metafore-base come �mappe concettuali a inferenza costante� nelle leggi aritmetiche (commutativa, associativa, distributiva). [30] Le miscele metaforiche, le esperienze di collezioni, la costruzione, il movimento, ecc. finiscono cos� per farci riconoscere il nesso tra aritmetica e mondo reale. � ci� a farci capire perch� la matematica �funzioni� cos� bene nel leggere il mondo nelle sue determinazioni quantitative generando la metafora �I numeri sono cose del mondo�. Da questa � nata secondo di Nostri la concezione platonica che pensa i numeri realt� esistenti fuori dell�uomo.

�� La numerabilit� embodied determina non solo il computo ma anche la simbolizzazione attraverso gli ERF (Equivalent Result Frame) e generalizzazioni della metonimia fondamentale dell�algebra, dove i simboli assumono �ruoli� differenti. Le metafore fondanti coniugate con subitizzazione ed esperienze manipolative, costruttive, del collezionare, del misurare e del muovere si associano poi a simbolizzazione, ordinalit� e algoritmi che utilizzano simboli ed equivalenze ERF, creando �la sovrastruttura dell�aritmetica di base� [31]. Per arrivare alla matematica astratta i passi sono molti e implicano l�allentamento del rapporto con l�esperienza sino a dar l�impressione di averla abbandonata. In realt�, � solo il rapporto che non � pi� diretto ma mediato dalla simbolizzazione:

 

Come nei linguaggi naturali, i simboli matematici possono esser polisemici; ossia, possono aver molteplici significati, associati in modo sistematico. Per esempio, il + � usato non solo per l�addizione, ma anche per l�unione di insiemi e per altre operazioni algebriche con le propriet� dell�addizione, 1 e 0 sono qualche volta usati per intendere vero e falso (e, come vedremo, non � accidentale che 1 sia usato per vero e 0 per falso e non viceversa). Analogamente non � accidentale che per l�unione di insiemi venga analizzato il + invece, per esempio, della √.[32]

 

��� Passo successivo l�algebra attraverso un�essenzializzazione che gi� i presocratici avevano visto nelle sostanze, nelle forme e nel cambiamento ripetitivo (nascere-maturare-morire) definita teoria ingenua delle essenze [33]. La metafora riguarda anche rapporti essenziali �tra� differenti domini matematici e ne nasce: la chiusura (la somma di una coppia di elementi � un elemento), l�associativit� [x + (y + z) = (x + y) + z], la commutativit� (x + y = y + x), l�elemento neutro (x + 0 = x), l�elemento inverso (per ogni x esiste un y tale che x + y = 0). Leggi astratte che valgono in tutte le operazioni algebriche in schematizzazioni dove vengono coinvolti gruppi di 3 elementi del tipo {I, A, B} e rotazioni [34]. Nascono cos� metafore AE (Algebric Essence) a schema fisso, sicch� il dominio sorgente algebrico � trasferito in un domino obiettivo non-algebrico e attraverso metafore �di collegamento� si giunge alla metafora base dell�infinito come �entit� in s�. I sistemi aspettuali nei concetti-evento riguardano poi l�iterativit� delle azioni ad aspetto imperfettivo [35], embodied in quanto riferite ad esperienza motorie reali spinte sino all�idea del moto perpetuo come �concetto letterale di infinito�. Un infinito potenziale che va distinto dall�infinito attuale nei termini gi� posti da Aristotele evidente quando si immagini di procedere alla costruzioni di una serie di poligoni regolari con un numero sempre crescente di lati, oppure quando si immagini di scrivere un numero sempre maggiori di decimali della √2 .

��� L�idea di infinito pare che secondo i Nostri non possa essere che metaforica in quanto �senza conclusione�, sicch� scrivono:

 

Letteralmente, il risultato di n processo senza fine non esiste: se un processo non ha fine, non ci pu� essere alcun �risultato ultimo�. Tuttavia, il meccanismo della metafora ci permette di concettualizzare il �risultato� di un processo infinito. [�] Chiamiamo questa metafora la Metafora base dell�infinito, o BMI [Basic Metaphor of Infinity] per brevit�; il suo dominio obbiettivo � quello dei processi senza fine, che i linguisti chiamano processi imperfettivi. L�effetto della BMI � quello di aggiungere un completamento metaforico al processo in corso, in modo da considerarlo con un risultato: un cosa infinita. [36]

 

Aggiungono: �La nostra formulazione della metafora � sufficientemente precisa e generale, da permetterci di sostituire i dettagli di una gran variet� di diversi tipi di infinito in differenti dom�ni matematici.�, perci� si tratta di un modello �generale� per tutti i casi possibili di infinitezza.

��� Attraverso la metafora i �processi� diventano �cose� nella freccia del tempo mentre la matematica � atemporale:

 

Come li pensiamo normalmente i processi si estendono nel tempo; invece, nella matematica possono esser concettualizzato come atemporali. Per esempio, consideriamo le successioni di Fibonacci, nelle quali il termine (n + 2) �esimo � la somma del termine n-esimo e di quello (n + 1) �esimo. La successione pu� essere concettualizzato o come un processo infinito che produce un numero di termini sempre maggiore, oppure come una cosa, una successione infinita atemporale. Questa concezione duale, come, abbiamo visto, non � propria della matematica, ma fa parte della conoscenza quotidiana. [37]

 

La �cosa� pu� essere espressa dal simbolo �∞�, e tale simbolo diventa cos� matematicamente �il tutto� dell�infinito numerico, il che � un errore, poich� la BMI vale indipendentemente dal fatto che l� ∞ sia pensato come numero o no.

��� Anche nella geometria proiettiva l�assioma �tutte le rette parallele si incontrano all�infinito� � un caso dell�infinito attuale con all�opera la BMI e l�intera collezione dei numeri naturali. Per� l�analisi cognitiva non coincide con quella matematica:

 

Certamente, la differenza consiste nel fatto che noi stiamo discutendo della struttura concettuale da un punto di vista cognitivo, prendendo in considerazione vincoli di tipo cognitivo, piuttosto che da un punto di vista puramente matematico, che non possiede affatto vincoli di questo tipo . I matematici, cio�, non hanno alcun obbligo di provare a capire quanto la comprensione matematica sia embodied e come essa faccia uso di meccanismi cognitivi normali, quali gli schemi immagine, la struttura aspettuale, le metafore concettuali e cos� via. [38]

 

��� Nel seguito, dal capitolo IX (I numeri reali e i limiti), ci si addentra sempre pi� nello specifico e il X si occupa dei Numeri transfiniti, l�XI degli Infinitesimi, il XII de I punti e il continuo, il XIII di Dedekind,il XIV di Weierstrass, ecc. Anche la matematica di Dedekind sarebbe basata su metafore come �La continuit� � assenza di buchi� e �La continuit� � completezza numerica� [39] cos� come Weierstrass avrebbe fatto uso della BMI nel porre i dischi ipsilon e gli infiniti intervalli incapsulati .

Per questo la matematica embodied si offre come superamento di un�altra che Lakoff e N��ez giudicano �creduta�, cui segue l�analisi di credenze formanti una collana di miti matematici che iniziano con Platone, e che, attraverso Cartesio e Leibniz, arrivano a Cantor, Hilbert, Frege, Russell:

 

Nel corso di questa ricerca ci siamo imbattuti in una mitologia, che abbiamo chiamato il Romanzo della matematica, e man mano che la ricerca progressiva � divenuto chiaro il fatto che le nostre scoperte contraddicessero tale mitologia. [40]

 

Il Romanzo della matematica ha creato credenze come: A. La matematica � una caratteristica oggettiva dell�universo; B. La matematica sarebbe la stessa se l�uomo non esistesse; C. La matematica � la scienza per eccellenza; D. Poich� la matematica � paradigma per la logica, essa � razionalit� pura; E. La matematica � �nei� fenomeni fisici e un�orbita � in realt� un�ellissi [41]. Perci�:

 

Il Romanzo � utile agli obbiettivi della comunit� matematica, aiuta a mantenere un��lite e quindi a giustificarne l�esistenza fa parte di una cultura che ricompensa l�incomprensibile, in cui di norma si scrive per un pubblico di iniziati, usando simboli, piuttosto che esposizioni chiare o un linguaggio accessibile i pi�. L�inaccessibilit� della maggior parte degli scritti matematici tende a perpetuare il Romanzo e, nel contempo, i suoi effetti dannosi. [42]

 

I nostri negano che la matematica abbia un rapporto diretto con la realt� fisica perch� le leggi che i fisici formulano non sarebbero che un modo per fissare �regolarit��: �Tra la matematica e le regolarit� del mondo fisico non esiste alcuna adeguatezza che non sia mediata: essa viene interamente realizzata nelle menti dei fisici che le comprendono entrambe. La matematica � nella mente dell�osservatore che � stato istruito in matematica, non nelle regolarit� dell�universo fisico.� [43], cos� come le coordinate cartesiane sono �imposte� allo spazio a fini computazionali. La matematica embodied sarebbe l�unica corretta, ontologicamente e gnoseologicamente coerente con la realt� fisica da un lato e con la realt� mentale dall�altro. Struttura neurale e meccanismi cognitivi sono univoci e l�apprendimento � �funzione� dinamica di un sotto-sistema neuronale strutturato opportunamente da neuroni e sinapsi di una certa area cerebrale. Perci�:

 

Dal punto di vista della scienza cognitiva, il fatto che tali concetti siano stati creati e appresi, significa che deve esistere in definitiva una spiegazione su basi biologiche e i meccanismi mediante cui essi vengono generati, imparati, rappresentati e utilizzati. [44]

 

Ne emerge un pensiero �materializzato� come epi-fenomeno neurale attraverso generazione, fissazione, rappresentazione secondaria e utilizzo.

��� L�embodiment fa della matematica un�attivit� metaforica per �tradurre� la realt� in concetti e la Divina commedia va vista come un sistema linguistico-metaforico conchiuso come lo � la logica formale di Frege. Inoltrela realt� possiede sei propriet� che �alludono� e �suggeriscono� concetti matematici: l�universalit� (due pi� due fa sempre quattro); la precisione (l�espressione di una quantit� � esatta); la coerenza (calcola il reale nei suoi enti); stabilit� (per eventi specifici e ripetibili i dati relativi sono stabili); generalizzabilit� (per propriet� fisiche definite e calcolate ogni estensione � calcolabile); possibilit� di scoperta (dati fatti e propriet� da essi si scoprono gli analoghi). [45] Matematica come �creazione mentale�, dunque, ma applicata alla realt�; ne deriva che se gli oggetti da conoscere tali propriet� sono matematizzabili, e che tali propriet� sono �ereditate� e �incorporate� dalla matematica stessa come linguaggio. Fissati i �meccanismi� dei processi inferenziali ne derivano stabilit� inferenziale, possibilit� di ampliamento, astrazione, connessioni apparentemente naturali e stabili [46].Ci� esclude verit� o falsit� non esistendo �geometria vera� n� �matematica vera�; quella, per esempio, �vale� entro i suoi assiomi; per cui:�Essendo molto creativi, i matematici inventeranno nuove forme di matematica, e non esiste alcun modo per prevedere in anticipo quali saranno..� [47]. Poich� il contenuto di una matematica si rimodella coi contesti culturali, esso cresce fossilizzandosi in idee varie, creatrici di essenze extra-mentali come la matematizzabilit� della logica, la �incrollabilit�� di un edificio matematico ben fatto o che �nei fiori� vi siano le successioni di Fibonacci, �nelle chiocciole� i logaritmi delle spirali, in ogni cosa circolare o sferica il 3,14 del pi greco, e cos� via.

��� La matematica crea numeri e operazioni per embodiment, poich� il cervello elabora idee e metafore in sempre nuovi rapporti con l�esperienzialit� corporea in rapporto a configurazioni [48] e quella sofisticata � �storica�, mentre l�aritmetica non lo � essendo il computo elementare a-storico, a-culturale, spontaneo, meccanico, nascendo nella subitizzazione. Questa non progredisce evolutivamente perch� il sistema neurale che la produce resta del neonato, mentre le conoscenze matematiche successive sono tutte �culturali�. Il caso dell�aritmetica in virgola mobile � significativo, poich� prima dell�avvento dei computer gli utilizzi di essa erano sconosciute:

 

Per le aritmetiche in virgola mobile, che possono aver due zeri, uno positivo e uno negativo, e + ∞ e - ∞ come numeri, non valgono tutti i teoremi dell�aritmetica ordinaria. Tuttavia, ognuna di esse � una forma dell�aritmetica in virgola mobile, che � del tutto precisa e di per s� rigorosa. Per inciso, si noti che non ha alcun senso chiede se nell�aritmetica in generale esistano realmente uno o due zeri, in quanto dipende dal tipo di aritmetica che si sceglie, se normale o una delle versioni in virgola mobile. [49]

 

In fase di commiato Lakoff e N��ez si pongono una domanda e la conseguente risposta:

 

Perch� e, π, i, 1 e 0 intervengono sempre quando si fa matematica, mentre non accade per la maggior parte dei numeri (ad esempio 192563947, 9853294867)? Il motivo consiste nel fatto che questi numeri, tramite le metafore di aritmetizzazione, esprimono concetti comuni e importanti nella nostra vita quotidiana (ad esempio la ricorrenza, la rotazione, la variazione e l�autoregolazione). [50]

 

Concludono:

 

Sono le idee che questi numeri esprimono a renderli significativi [�]Le varie branche della matematica matematizzano i nostri interessi, e il meccanismo per fare ci� � costituito dall�intero sistema, fin troppo umano, di metafore e di miscele concettuali. [51]

 

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���� 3.4La fonte comune di matematica, discorso e istinto

 

��� Lo stretto nesso tra i linguaggi matematico e verbale � chiaro ed oggettivo: il nome dei numeri � nato assai prima dei loro simboli; questa la posizione di Keith Devlin, direttore del Center for the Study of Language and Information della Stanford University, che in apertura del suo The Math Gene (2000) afferma:

 

La mia argomentazione [�] �, in tutta semplicit�, questa: la vostra predisposizione per il linguaggio � esattamente ci� che vi serve per fare della matematica. [�.] Parte della spiegazione sta nel fatto che la maggior parte della gente non sa che cosa sia davvero la matematica. Perci� dovr� anche spiegare che cosa intendono i matematici - gente come me � quando parlano di �matematica�. Non si tratta solo di numeri e di aritmetica. Unavolta che avrete capito che cosa studia davvero la matematica, e in che modo il nostro cervello crea il linguaggio, l�idea che il pensiero matematico non sia altro che un modo specializzato di usare la nostra predisposizione per il linguaggio dovrebbe apparirvi meno sorprendente. [52]

 

In altre parole: 1�: la maggior parte di noi non sa che cosa sia veramente la matematica al di l� dell�averne imparata poca o tanta. 2�: il linguaggio � stato creato dall�homo sapiens per formulare pensieri e comunicarli; non ha perci� alcuna �struttura� a priori, ma solo a posteriori nel suo �farsi attraverso l�uso�. 3�: la matematica � �specializzazione� del linguaggio verbale.

��� Ricordiamo che la parola greca lόgos significa tanto �discorso� quanto �calcolo� e che nel significato datole dagli Stoici pu� essere tradotta in �discorsivit� calcolatrice-ordinatrice�. Nelle lingue neolatine, inoltre, la radice �cont� indica sia il computare che il raccontare e la parola latina ratio (che significa sia misura che computo) � anche a base di sostativi quali ragione e ragionare (come in negli analoghi francesi e spagnoli) concernenti il pensiero e il discorso, non la misura n� il computo. Interrelazione e intersezioni della matematica e del discorso verbale ci sono e molto strette e da ci� Devlin fonda la sua tesi sulla plasticit� ed elasticit� d�uso del linguaggio comunicativo, perci� la comunicazione � �non-strutturale� e acquista struttura attraverso l�uso. Inoltre la problematicit� nell�utilizzo delle capacit� matematiche dipende dal loro essere frutto relativamente recente dell�evoluzione cerebrale, considerato che il primo numero astratto � nato circa 8000 anni fa, che la simbologia matematica data 2500 anni fa e che il calcolo infinitesimale c�� da 400 anni. Il nostro cervello trova pi� difficile fare matematica che discorrere, eppure: �Le caratteristiche del cervello che ci consentono di fare matematica sono esattamente le stesse che ci consentono di usare il linguaggio.� [53]Il �ritardo matematico� � dipeso dal prevalere �l�esigenza di tenersi al corrente sulle relazioni interpersonali in una societ� che andava facendosi sempre pi� complessa.� [54] e il maggior uso della parola ha sopraffatto il numero. In quanto pi� utile ai rapporti umani il linguaggio verbale si � sviluppato pi� del matematico.

��� Indubitabile che il calcolo infinitesimale abbia permesso grandi progressi in fisica; Leibniz e Newton hanno inventato due metodi con finalit� identiche ma procedure differenti. Probabile che esso sia nato per pure esigenze matematiche in Leibniz e fisiche in Newton e non � improbabile che sia stato un adeguamento del linguaggio matematico a scoperte fisiche che ne avevano bisogno.�� Dopo averci ricordato che esistono una sessantina di differenti matematiche il Nostro vede le vede come �scienza dei pattern [approssimativamente = modelli]� [55] e precisa:

 

Mi limiter� ad accennare che i modelli studiati dal matematico possono esser reali o immaginari, visivi o mentali, statici o dinamici, qualitativi o quantitativi, avere finalit� pratiche o ricreative. Essi sorgono dalla realt� pratica che ci circonda, dalle profondit� dello spazio e del tempo e dal lavorio della mente umana. Diversi tipi di modello danno luogo a diverse branche della matematica. [56]

 

La matematica perde cos� ogni traccia di trascendentalit� per diventare immanente alle esigenze del vivere, del pensare e dell�agire umano. Ma il Nostro affronta poi in un lunga analisi anche le capacit� matematiche degli animali, per concludere che le differenze rispondono a esigenze quotidiane come quelle di procurarsi il cibo in condizioni difficili, di calcolare il rischio tra attaccare e fuggire di fronte al nemico, di ottenere un premio da qualcuno attraverso una prestazione giudicata degna di esso.

��� La domanda che si poneva Wigner cinquant�anni fa trova risposta secondo Devlin nella stupefacente variet� nella � modellistica astratta� della matematica:

 

Una volta che ci si rende conto che essa non � che una sorta di gioco costruito dagli esseri umani, ma riguarda i modelli esistenti nella realt� che ci circonda, l�osservazione di Wigner non sembra pi� tanto sorprendente. La matematica non ha a che fare con i numeri, ma con la vita. Riguarda il mondo in cui viviamo. Ben lungi dall�esser opaca e sterile come tanto spesso la si dipinge, essa trabocca di creativit�.� [57]

 

��� Matematizzare stimola il senso creativo come fanno l�arte e la musica in particolare attraverso forme simboliche o simboli, che essendo astratti determinano modelli astratti quali �scheletri� matematici della realt�:

 

Il matematico si concentra su un aspetto di quel mondo � per esempio un fiore, o una mano di poker -, ne coglie qualche caratteristica particolare e poi elimina tutti i dettagli, lasciando solo uno scheletro astratto. Nel caso del fiore, quello scheletro astratto potrebbe essere la sua simmetria. In quello del poker, potrebbe trattarsi della distribuzione delle carte o del modello delle puntate. [58]

 

Un nocciolo astratto dell�operare matematico in stretto rapporto col pensare sia in riferimento alla struttura dello scheletro sia agli elementi e sia quelle giunzioni che sono i simboli). Il funzionamento del cervello di chi �fa matematica�, che crea simboli per scoprire attraverso essi il mondo e cos� chiarito: �Quando affermo che la matematica � un processo di scoperta, intendo dire che � al tempo stesso un processo di scoperta del mondo che ci circonda e di noi stessi in quanto esseri pensanti che in quel mondo vivono.� [59]L�attenzione si sposta poi sul �parlare� in rapporto al �matematizzare� e l�autore sviluppa una lunga analisi per cogliere ed evidenziare tale rapporto anche alla luce della linguistica. E un altro problema che pone Devlin � di capire perch� i bambini di tre anni siano gi� in grado di utilizzare lo schema che egli chiama ALF (l�Albero del Linguaggio Fondamentale) notando:

 

Se la struttura sintattica � nella forma dell�ALF � � cablata nel nostro cervello, allora �imparare a parlare� comporter� solo l�apprendimento del vocabolario della nostra lingua madre, insieme a qualche informazione sull�ordine delle parole. Fatto questo, per produrre enunciati grammaticalmente corretti baster� inserire le parole appropriate nelle diverse posizioni degli alberi sintagmatici. [60]

 

L�ipotesi � che, evolutivamente, il cervello dell�homo sapiens si sia strutturato in ramificazioni che gi� il neonato possiede, ma �da completare� con l�apprendimento di parole e di rapporti tra parole. L�acquisizione del linguaggio nei bambini avviene infatti attraverso due stadi: nel 1�, relativo ai primi due anni di vita il bambino impara poche parole e ne effettua limitate combinazioni del tipo soggetto-propriet�. Nel 2�, tra il secondo e il terzo anno di vita, egli, improvvisamente, incomincia a produrre enunciati formalmente e grammaticalmente gi� quasi perfetti.

��� L�ALF non sarebbe specifico di una lingua, ma fondamento fisiologico-neurale del parlare, del pensare e del comunicare ed � irrilevante che il neonato sia allevato in un contesto linguistico o in un altro:

 

Ma che cosa intendiamo esattamente quando diciamo che l�albero del linguaggio fondamentale � cablato nei circuiti del cervello umano? Di certo non ci aspettiamo che un giorno i neuroscienziati scoprano circuiti ad albero nel nostro cervello. Piuttosto, intendiamo dire che gli esseri umani (a) hanno la capacit� innata di acquisire un linguaggio e che (b) questa capacit� innata pu� essere descritta da una grammatica della struttura sintagmaticacome quella contenuta nell�ALF. [61]

 

Tesi che offre una spiegazione plausibile a livello genetico della nostra propensione al linguaggio, per quanto non risponda al perch� il mondo fisico sia cos� ben interpretato dalla matematica. Se il conoscente si limita ad usare una sua facolt� (il linguaggio matematico) per definire a proprio uso le connotazioni della realt� materiale, resta da capire perch� �questa� sia matematicamente leggibile.

��� Devlin suppone che la strutturazione del cervello umano verso la capacit� linguistica possa essere avvenuta tra 200.000 e 75.0000 anni fa [62], e ci� equivale a sostenere che solo il neanderthalensis e ilsapiens abbiano avuto tale privilegio, escludendo tutte le altre versioni precedenti del mammifero a due gambe.Questo privilegio � identico, indipendentemente dal livello di civilt� raggiunto e �La struttura dei sintagmi della trib� aborigena pi� primitiva � virtualmente identica a quella in uso presso la sofisticata comunit� di New York.� [63]. Resta da spiegare perch� i bambini di New York acquisiscano meglio il linguaggio matematico dei bambini aborigeni, ma il Nostro introduce una nota che un poco lo spiega:

 

� mia opinione che la tradizionale descrizione dell�evoluzione del linguaggio sia sbagliata. Il linguaggio non evolse primariamente per facilitare una maggiore comunicazione. Secondo me esso emerse quasi per caso come prodotto collaterale dell�acquisizione, da parte dei nostri progenitori, di una sempre pi� ricca comprensione del mondo in cui vivevano � inteso tanto come ambiente fisico quanto come mondo sociale -, caratterizzato da una crescente complessit�. Lo sviluppo fondamentale, secondo la mia tesi, fu quello che io chiamo �pensiero off-line�. (N� l�idea, n� il termine sono miei originali). Il pensiero off-line � la capacit� di formulare pensieri astratti, nella forma: �che succederebbe se�?� [64]

 

Se l�evoluzione delle strutture neurali ha determinato �casualmente� la predisposizione al linguaggio e non �necessariamente� (come pensano gli strutturalisti), si comprende perch� tali esiti casuali non implichino alcuna necessit� che il cervello umano metta a frutto le capacit� virtuali che quella nuova struttura permetterebbe. Cos� entra in gioco anche la tesi storico-culturale di Reuben Hersh vista nel � 3.2.��

��� In base all�evoluzione genetica un passaggio fondamentale sarebbe allora la comparsa nello stomaco delle scimmie propriamente dette di un enzima in grado di consentire la digestione di frutta acerba, assente nelle antropomorfe. Ci� avrebbe favorito le prime, lasciando le seconde nell�indigenza essendo i frutti mangiati prima della maturazione pi� abbondanti e disponibili. Non pi� possibile la vita sugli alberi gli ominidi avrebbero dovuto scendere al suolo e cercare altre fonti di sopravvivenza, iniziando una competizione feroce a livello sia infraspecifico che interspecifico. Questa situazione sfavorevole avrebbe per� indotto lo sviluppo di nuove funzioni come la visione cromatica, che si sarebbe rivelata essenziale per �distinguere la frutta matura da quella acerba�. Sta di fatto che le dimensioni del cervello cominciarono ad aumentare sino a raggiungere il rapporto attuale [65] e Devlin ne deduce che quelle maggiori difficolt� esistentive abbiano determinato uno sforzo mentale tale da determinare lo straordinario sviluppo dell�encefalo in termini di massa. Quindi per vivere in spazi aperti, in cui era difficile nascondersi e quindi a forte rischio di selezione ed estinzione, nell�homo sapiens si sarebbe indotta una mutazione genetica per sopravvivere. O quanto meno sarebbero sopravvissute linee genetiche mutanti.��

��� Devlin pone allora il concetto di �azione intelligente� come frutto evolutivo nell�essere vivente che deve �arrangiarsi� per non morire. Casi significativi il girasole, che va cercare il sole ruotando sullo stelo, o il batterio acquatico che si allontana da ambienti per lui diventati tossici, o il polpo che sa �svitare� un vasetto a chiusura ermetica per cibarsi di ci� che sta dentro e lo scimpanz� che raggiunge la banana appesa al soffitto portando una sedia e salendoci sopra. Tra il girasole e l�uomo ci sarebbe allora uno spettro continuo di comportamenti sviluppati da esseri viventi �in difficolt��, costretti a adattarsi con uno �sforzo intelligente� [66] Il pensare matematico potrebbe esser sorto in uno stadio astraente della consapevolezza dell�esistenza del �rapporto causa/effetto�, l�intuizione del quale stimola a capire il perch� da certe premesse ne conseguano certe conseguenze. E tuttavia, precisa Devlin:

 

D�altra parte, nonostante tutti questi sviluppi mentali, il cambiamento pi� significativo verificatosi nei nostri antenati umani a quell�epoca non fu, presumibilmente, di ordine mentale ma fisico: essi cominciarono a modificare il loro modo di muoversi. Affidandosi per la locomozione sempre pi� ai soli arti posteriori, lasciarono quelli anteriori liberi per altri scopi. [67]

 

E qui entra ovviamente in gioco l�uso delle mani e delle dita nelle loro straordinarie possibilit� di presa, manipolazione e conta che si coniuga con la capacit� di articolare suoni e accompagnarli con gesti.

��� A cinque anni di distanza da The Math Gene il Nostro pubblica nel 2005 The Math Instinct, che offre per la nostra ricerca altri stimoli interessanti, poich� l�analisi si sposta dall�uomo ai molti altri animali che presentano capacit� matematiche. Alcune considerazioni sono per� confermative:

 

Tutte le evidenze scientifiche in nostro possesso sul modo in cui il cervello umano tratta i numeri indicano che la nostra capacit� di operare con i numeri viene solo dopo che ciascuno di noi ha imparato le parole che indicano i numeri �uno, �due�, �tre� e cos� via. Alcuni lavori con gli scimpanz� e con altri primati mostrano che, a questo scopo, imparare i simboli per i numeri �1�, �2�, �3� funziona altrettanto bene. Il punto � che, per l�acquisizione del concetto di numero, sembra necessario possedere prima una parola o un simbolo che si riferisca a tale concetto. [68]

 

L�importanza di ci� � evidente, se qualsiasi concetto essere espresso solo con parole entro regole sintattiche che le coniugano,anche un concetto matematico non pu� che esser espresso attraverso simboli e regole.

��� Un�affascinante argomento zoologico si apre al secondo capitolo col cane di razza Welsh Corgi, pare saper calcolare lo spostamento di una pallina gettata in acqua e optare anzich� per la distanza pi� breve per un�altra composta che per� gli fa risparmiare tempo. Si domanda il padrone del cane: �Il mio Welsh Corgi conosce il calcolo infinitesimale?� Poich� il cane non sa la matematica egli si d� la seguente risposta: �Potrebbe esser una conseguenza della selezione naturale, che d� un piccolo ma importante vantaggio a quegli animali che mostrano una migliore capacit� di giudizio.�[69]D�altra parte anche i gatti quando cadono dall�alto per riuscire a cader sempre su quattro zampe dovrebbero anch�essi fare e in pochi istanti un calcolo complicatissimo. Esso implicherebbe �un sistema di equazioni differenziali alle derivate parziali con una dozzina di variabili, un calcolo che va oltre le capacit� della maggior parte dei laureati in matematica.� [70]La conclusione parrebbe allora che la selezione naturale sarebbe un�ottima matematica per saper giudicare che cosa premiare e che cosa penalizzare ai fini dell�adattamento biologico.

��� Su �che cosa possa essere la matematica� la risposta � ancora secondo il Nostro: �La matematica � fatta di pattern. La vita stessa � fatta di pattern.� [71]Quando un nostro lontano antenato si sar� chiesto che cosa ci fosse in comune tra tre buoi, tre lance e tre donne, avr� capito prima o poi che era �l�esser-tre�, in questo caso il pattern implicato era quello delle �numerosit��. Ma quando Newton e Leibniz, molte migliaia di anni dopo, inventano il calcolo infinitesimale lo fanno per spiegare i pattern del moto e della variazione continui. Un po� prima Fermat e Pascal si consultano circa la possibilit� di una teoria delle probabilit�, quale pattern relativo ad un evento casuale che �si ripete�, ed oggigiorno gli informatici utilizzano i pattern della logica formale per creare programmi [72]. Per�, come la notazione musicale non � musica neppure la notazione algebrica � matematica:

 

I simboli stampati sulla pagina son solo una rappresentazione della matematica. Se vengono letti da qualcuno che ha studiato matematica, essi diventano vivi � la matematica, insomma, vive e respira nella mente di chi legge. [�] Il riconoscimento dei concetti astratti e lo sviluppo di un linguaggio appropriato per descriverli sono effettivamente i due lati della stessa medaglia. [73]

 

L�elemento linguistico-concettuale in matematica non � capito perch� non is � capito il suo stare-sotto le procedure simboliche e formali; i simboli in un certo senso nascondono la matematica e non lasciano vedere i suoi rapporti col mondo: �Quando si va oltre i simboli, la matematica � la scienza che studia i pattern � si riduce a un modo di osservare il mondo fisico, biologico e sociologico che abitiamo, oppure quello delle nostre menti e dei nostri pensieri.�

��� Devlin torna alla zoologia per notare che la formica del deserto pare valutare distanze contando i propri passi [74], l�aragosta localizza la propria posizione come possedesse �la pi� sofisticata versione del GPS� percependo il campo magnetico [75]. Gli uccelli migratori se il cielo � nuvoloso utilizzano riferimenti al suolo come montagne o fiumi [76]. I salmoni nel muoversi utilizzano come riferimento la posizione del Sole, ma se questo manca pare utilizzino il campo magnetico [77].Tutte performance che implicano comportamenti matematici e quindi l�esistenza di un istintomatematico. Ma il comportamento dei pipistrelli va molto oltre rivelando un istinto che � una quasi-intelligenza matematica (Devlin individua in 15 punti queste capacit�) [78]. Il gufo non possiede il sonar ma vedendo nel buio � �una macchina per uccidere ad alta ingegneria, dotata di un sistema di precisione che come nel pipistrello dipende da un innato sofisticato motore di calcolo. [�] usando una sofisticata tecnica di �triangolazione matematica�� [79]Altri animali non usano il calcolo differenziale o le frequenze visive od acustiche ma sfruttano d�istinto pattern straordinari: sono gli �architetti della natura�. Tra essi le api che usano un pattern di geometria bidimensionale per costruire le cellette con angoli di 120 gradi ottenendo il massimo sfruttamento dello spazio. Relativamente ai castori pare essere l�ambiente a �fare matematica� poich� sfruttano la corrente dell�acqua e i rifiuti che essa porta, compattando rami e determinando il profilo della diga[80]. I ragni, infine, compiono complesse procedure per ottenere con la secrezione un materiale resistente ed elastico con pattern geometrici differenti. [81]

��� Anche le piante fanno matematica e le �successioni� (1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, ecc.) che gi� Fibonacci aveva scoperto alla fine del XII secolo (ogni numero � la somme dei due precedenti) e aveva esposte nel Liber abaci del 1202, sono una regola geometrica molto avanzata.Se si conta il numero dei petali dei fiori, abbastanza spesso si scopre che si tratta di una �successione di Fibonacci�. Ma � il girasole a sbalordirci: esso si costituisce con due spirali che si intersecano, una in senso orario e l�altra in senso antiorario; contando queste spirali si scopre che ce ne sono sempre 21 o 34 in senso orario e 34 o 55 in senso antiorario [82]. Ancora pi� stupefacente pu� risultare il fatto che il numero 1,61803�, chiamato dai Greci �rapporto aureo o �sezione aurea� (indicato col simbolo Φ) lo si scopra nella disposizione delle foglie lungo il gambo di molte piante, al fine di ricevere sole senza farsi ombra le une con le altre. Osserva Devlin:

 

Le piante si sviluppano da un gruppetto di cellule poste in cima ad una pianta in crescita, chiamato �meristema�. C�� un diverso meristema alla sommit� di ogni ramo o germoglio, ed � qui che si formano le nuove cellule. [�] Per ottenere il miglior impacchettamento e per ricevete il massimo di luce solare, queste cellule crescono a spirale, come se il ramo ruotasse di un certo angolo prima della comparsa di una nuova cellula. In seguito queste cellule possono diventare un nuovo ramo, oppure petali e stami di un fiore. [83]

 

Stupefacente la logica matematica che presiede le successioni di Fibonacci nell�accrescimento delle piante, ma forse ancor pi� stupefacente che ogni pianta, a seconda delle situazioni e degli ambienti, paia operare degli �arrotondamenti� al pi� vicino numero intero, sottraendosi cos� ai meccanicismi matematici puri ed �aggiustandoli� con criteri individuali, contingenti e situazionali. [84].���

��� Un mondo in movimento e dove il movimento lo impronta e lo caratterizza richiede una matematica del moto da parte di chi ci vive: un divenire di base che impone ai divenienti di improntare la loro esistenza secondo una matematica del mutamento e dell�evoluzione. L�essere vivente, per spostarsi, per cercare il cibo, per trovare il partner sessuale, per sfuggire il pericolo, fa della matematica. Un insetto poco amato dalle casalinghe ha un grande talento: �I principi matematici che hanno a vedere con la locomozione dello scarafaggio sono piuttosto simili a quelli utilizzati per progettare e controllare i pi� recenti caccia ad alta prestazione.� [85]Ma, in generale, sia i pesci che gli uccelli si muovono �ingegneristicamente� e sia aerei che elicotteri sfruttano principi che i volatili conoscono da milioni d�anni [86].���

��� Indipendente da quanto di matematico ci sia nei comportamenti istintivi degli animali, un altro fatto non meno interessate � che essi la matematica �la imparano�. I ratti e i corvi sembra essere animali particolarmente portati per la matematica, ma anche i cavalli e, ovviamente, gli scimpanz�, destano stupore per le loro performance. Un ricercatore giapponese, Tetsuro Matsuzawa, � riuscito alla fine degli anni �80 ad insegnare a uno scimpanz� ad usare correttamente le prime nove cifre arabe [87]. La conclusione a cui giunge Devlin al Capitolo 11 di The Math instinct � che: �i ratti, diversi tipi di uccelli, i leoni, i cani, le scimmie, gli scimpanz� e altre bestie hanno un senso del numero molto simile al nostro.� [88]. Le capacit� matematiche di molti altri animali sono tecnicamente �simili� alle nostre, ma noi godiamo di livelli di precisione che essi non hanno, poich� non vanno oltre la �barriera del 3� non riuscendo a capire il carattere �processuale� del contare. [89]

In ogni caso essi non hanno linguaggio articolato e organizzato [90] possedendo solo matematica naturale ma non accedendo a quella astratta. La domanda �: �Come ha fatto il cervello umano a diventarne capace?�. Il numero � nato 10.000 anni fa ma solo 2500-3000 anni fa ci sono i primi segnali di un matematizzare astratto:

 

Questo � un periodo di tempo decisamente troppo corto perch� possa esser avvenuto qualche cambiamento strutturale nel cervello: l�evoluzione avviene su scale temporali di centinaia di migliaia se non di milioni di anni. Quando facciamo matematica dobbiamo sostanzialmente farla con un cervello dell�et� del ferro. In altre parole, per fare matematica evidentemente prendiamo attitudini mentali che i nostri antenati acquisirono per altri scopi (pi� precisamente, attitudini che sono entrate nel nostro patrimonio genetico perch� si sono dimostrate vantaggiose per alcune funzioni che erano importanti per la sopravvivenza dei nostri antichi antenati), e le cooptiamo per questo nuovo scopo. [91]

 

Si evidenzia un punto chiave dell�evoluzione, poich� da casuali mutazioni genetiche ne � nato un �utilizzo di convenienza� con adattamento, in assenza totale di �definizione funzionale� a priori e da ci� la �creativit�� degli esseri viventi, che trovandosi �tra le mani� facolt� nuove, se ne servono utilitaristicamente come materie o strumenti per migliorare il loro �stare al mondo�. Poich�: �La funzione principale del nostro cervello � assicurare la nostra sopravvivenza, almeno fin al punto in cui la nostra prole possa vivere per proprio conto�, � evidente che �Lo sviluppo delle capacit� matematiche (in un certo contesto) � al pi� una caratteristica secondaria.� [92]

��� Chiudiamo su Devlin riassumendo cinque aspetti interessanti: 1�. l�apprendimento della matematica sulla base della predisposizione; 2. il rapporto pensare-matematizzare per pattern esistentivi esprimibili con sintagmi logici; 3. il pensiero matematico come utilitaristico; 4. l�esclusione di ogni implicazione strutturale con la realt� fisica; 5. la matematica come �emergenza� biologico-evolutiva. Tuttavia non ci pare che Devlin fornisca una riposta esauriente alla domanda di Wigner circa l��irragionevole efficacia della matematica nelle scienze naturali�. Egli afferma ne Il gene della matematica che essa � �una sorta di gioco costruito dagli esseri umani� e che �riguarda i modelli esistenti nella realt� che ci circonda�. Ora, la sua funzione si estrinseca certo nella regione biologica (RgC) e nella regione della complessit� (RgM), alle quali l�homo sapiens appartiene e nelle quali � collocato, ma � nella subatomica (RgP) e nella macrocosmica (RgG) dove funziona al meglio e ci regala le migliori cognizioni. Su questo Devlin tace.

 

 

 

������������������������������������ 3.5 La lingua del pluralismo ontico e del movimento

 

��� Se l�universo fosse matematico come minimo le entit� fisiche fondamentali, i fattori-base di riferimento, dovrebbero avere valori pieni o almeno abbastanza netti. Invece le costanti cosmologiche sono numeri privi di razionalit�s� da far pensare alla pi� assoluta casualit� del loro generarsi. Non trama dell�universo, quindi, ma semmai errori grossolani di tessitura da parte di un Tessitore incapace; per questo l�invenzione di un Tessitore pu� far bene alla salute e aiutarci a vivere meglio omeostaticamente, ma � un falso. Per altro verso, i frutti pi� alti e spirituali di questo cosmo se frutti di un�Intelligenza matematica dovrebbero essere �pi� computabili� di quelli inferiori e materiali (particelle, atomi e molecole). � vero invece il contrario: pi� si sale nella scala dell�essere e meno la matematica serve. Avevamo notato a proposito di Barrow (� 2.4), che la questione della computabilit� del mondo fisico noto non � scontata. Ci� significa che il linguaggio matematico �funziona� ma �non struttura� affatto la realt� fisica e che per una realt� differente potrebbe volerci una matematica differente. Immaginando la matematica sub-stante il cosmo non si spiegherebbe la molta �incomputabilit��, emergendo questioni del tipo: A. se il cosmo sia pervaso e informato da un�Intelligenza intrinseca (il Dio-Necessit�); B. se il cosmo sia retto da unDio-Volont� che lo gestisce; C. se non ci sia alcuna Intelligenza che lo impronti e sia mero frutto del caso.

��� Tali questioni in parte sono gi� state affrontate e ci torneremo, ma relativamente alla computabilit� possiamo fin d�ora affermare che qualsiasi nuova regione della realt� di cui in futuro si potesse scoprire l�esistenza da qualche parte per conoscerla ci vorrebbe: 1�. che fosse almeno in parte computabile; 2�. che lo fosse compatibilmente con la nostra struttura mentale; 3�. Che avesse sufficiente coerenza strutturale da essere resa con equazioni. Problemi l�approccio che ammettono soltanto due ontologie antitetiche: quella �chiusa� della teologia olistica dell�Uno-Tutto, oppure quella �aperta� del pluralismo ontofisico che noi proponiamo. Riallacciamoci ai �� 3.2, 3.3 e 3.4, relativi all�essenza storico-culturale della matematica, a quella toto-linguistica e a quella embodied; tutte interessanti ma carenti nel non cogliere la matematica come lettrice e interpretante della fisicit� cosmica. Constatare che l�homo sapiens sa �matematizzare il matematizzabile� non garantisce la �matematicit�� di regioni ad esso estranee come la RgP e la RgG perch� un conto � analizzare la capacit� matematizzare ed altro conto domandarsi �perch� una propriet� cosmica sia matematizzabile. La separazione pensiero/cosmo siamo costretti ad assumerla almeno in linea di principio e per correttezza gnoseologica, poich� che il pensiero sia �omogeneo� alla materia o sia �dotato� per interpretarla sono credenza. Per restare nella conoscenza dobbiamo escludere sicuramente la Creazione del Dio-Volont�, ma anche l�olistico Uno-Tutto del Dio-Necessit�.

���� La domanda posta da Wigner rimane comunque sullo sfondo e dobbiamo riprenderla. Quando noi avanzavamo l�ipotesi paleo-antropologica che il numero 1 fosse venuto alla coscienza umana in ritardo rispetto ai suoi multipli 2, 3 o 4,alludevamo ad una processualit� cognitiva che � in fondo la stessa della fisica. L�intima struttura quantitativa del cosmo ci � infatti divenuta nota soltanto da quando Max Planck ha scoperto la costituzione quantistica della materia, perci� solo la realt� dei quanti legittima l�enunciazione di numeri ad essi applicabili del linguaggio matematico e non certo viceversa. Finch� della materia non era stata colta la struttura discreta del suo livello elementare la sistemicit� della matematica non poteva esserle correlata, mentre possiamo farlo oggi solo perch� abbiamo nozione certa dei discreti che la costituiscono. Paradossalmente la MQ con la sua inintelligibilit� in base ai vecchi schemi mentali deterministici ha generato da un lato scetticismo e rifiuto e dall�altro �salti metafisici�. Con essi una materialit� indefinita, misteriosa, inquietante, viene trans-sustanziata in razionalit� e spiritualit� risolventi ed appaganti. Se Einstein aveva sofferto l�apparente assurdit� della MQ astenendosi da ogni salto metafisico arbitrario, altri dopo di lui, come Tipler, non avrebbero avuto scrupoli a farlo.

��� Il � 2.4 di La filosofia e la teologia filosofale recava il titolo Le illusioni antropiche: dal �continuum� ai miti cosmogonici. Ebbene, possiamo partire proprio dal continuum per capire ci� che la matematica non � ma viene fatta passare dai teologi filosofali e quanto una considerazione estensiva dell�analisi infinitesimale abbia travalicato la sua utilit� per prestarsi all�invenzione metafisica di una surrettizia struttura logica del reale. I concetti di �continuo� e di �infinito� sono infatti contigui e concorrenti alla teologizzazione della matematica. Nulla nella realt� fisica si d� n� come continuo e n� come infinito, il primo essendo un mero fenomeno ingannevole della percezione sensoriale, il secondo un�estensione immaginaria della coniugazione concettuale di �immenso� e �indefinito�. La matematica, una volta liberata dai ciarpami metafisici, si offre a noi limpidamente come il linguaggio con cui interpretiamo e leggiamo le unit� discrete costituenti la realt�, i loro assemblaggi e le dinamiche che li concernono. L�estensione della computabilit� riguarda infatti anche gli �insiemi� e le �frazioni� delle grandezze quando presentino omogeneit�, costanza e contemporaneit�. Sono i �discreti� che costituiscono la realt� conferendo forme e significati ai concetti di lunghezza, larghezza, volume, peso, ecc. I numeri, le loro forme, le loro espressioni, le loro operazioni, non esistono al di fuori dei discreti reali che si lasciano contare in quanto tali o nelle loro connotazioni, rivelando quanto sia arbitraria ogni elusione-evasione da tale relazione.

��� Una definizione della matematica come �lingua dei discreti� pare riduttiva, eppure anche Barrow, dopo aver affermato che la Natura �potrebbe esser benissimo matematica.� e che �la descrizione della natura sarebbe in realt� un processo di scoperta pi� che di invenzione�, aggiunge: �io credo che esistano alcuni legami insospettati con le nostre abilit� linguistiche.� [93] La determinazione posizionale dei numeri ha secondo Barrow (ma anche secondo Devlin e altri) un rapporto diretto col posizionamento delle parole all�interno del discorso. La ragione sta nel fatto che come i paleoantropologi pensano all�inizio i numeri erano nomi e �c�era una parola per indicare tre pietre e un�altra per indicare tre pesci� [94] cos� come l�inglese parole che indicano una coppia di fagiani e un paio di scarpe [95]. Conclude Barrow:

 

Provate invece a pensare ai numeri come aggettivi, e potrete snellire il vostro linguaggio adottando un�unica parola che indichi �tre�, da collocarsi accanto a quella indicante una qualsiasi delle cose di cui volete descrivere la quantit�. L�importanza di quest�idea � che, se � vera, dimostra come la numerazione emerse lungo un sentiero gi� in precedenza battuto dallo sviluppo del linguaggio. La numerazione condusse infine alla matematica. La nostra notazione matematica, come i nostri concetti matematici, nacque quale prodotto secondario della nostra istintiva intelligenza per altre attivit�. [96]

 

��� Ci� che va tenuto presente � che la matematica in quanto linguaggio umano come ogni altro linguaggio (comunicativo, descrittivo, espositivo, narrativo, gestuale, ecc.) si presta ad un utilizzo evolutivo. Se, infatti, il linguaggio scritto si � prestato all�evocazione poetica e quello gestuale al mimo e alla danza, in termini analoghi e decisamente pi� importanti sotto il profilo gnoseologico, quello matematico si � rivelato di una plasticit� eclatante e dalle possibilit� elaborazionali sconfinate. Esso non solo ha accompagnato la conoscenza del reale da parte dell�homo sapiens sin dalla preistoriama si � rivelato indispensabile per un�adeguazione cognitiva ad aspetti del reale nei confronti del quale le facolt� sensoriali sono inadeguate. � infatti nell�approccio scientifico oggettivo che la matematica diviene il correlato irrinunciabile per la definizione di una realt� infra-umana o trans-umana sottratta alla percezione. � questa la ragione per cui la matematica, a differenza di ogni altro linguaggio comunicativo-descrittivo-espositivo-narrativo si connota come linguaggio primario della scienza. Qualsiasi scienza che non si presti all�espressione matematica resta nell�approssimazione, poich� solo l�equazione matematica esprime il modo corretto ed esaustivo il dato e permette l�acquisizione della datit� come configurazione della realt�.���

��� L�unit� fisica (il quanto) � correlabile quindi all�unit� matematica (l�1) in un rapporto che coniuga l�immensit� pluralistica della materia all�immensit� astratta della matematica. Se noi, sempre in termini analogici raffrontiamo poi il vuoto quantistico con l�immenso universo dei numeri irrazionali generati da ci� che potremo chiamare il �regno dello 0�, coglieremo una corrispondenza del �testo� con la sua �lettrice�. Se noi spingiamo oltre l�estrapolazione analogica ci accorgeremo che la complessit� materiale e le innumerevoli combinazioni e assemblaggi delle particelle elementari sono in tutto e per tutto raffrontabili con le analoghe combinazioni e assemblaggi creazionali della matematica. Ci� ci autorizza a vedere una relazione ontica tra la materia e la matematica? Niente affatto. Una matematica lettrice del reale non autorizza alcun salto metafisico dal computabile all�ontologico, cos� come una deduzione dimostrativa non legittima un analogo salto metafisico dal logico all�ontologico. La patente illegittimit� di un pensiero logico che si pretenda creatore di essere, trova rispondenza nell�illegittimit� di pretendere la matematica creatrice di struttura. Come l�ontologia non ha niente a che fare con la logica e la dialettica, per quanto possano esserle utiles ancillae,cos� l�ontico non ha alcun rapporto diretto con il matematico.

��� Occorre tuttavia andare oltre la considerazione riduttivistica che avevamo segnalato, cio� quella paleo-antropologica che vede i numeri nascere solo da occorrenze sociali pratiche, non si pu� sostenere che le divisioni del cibo o del bottino, le transazioni e i baratti abbiano creato la matematica, e neppure che il cerchio sia solo un prodotto mentale nato dalla visione del sole e della luna. probabile che la visione di grossi cristalli possa aver stimolato l�immagine astratta di piramidi o cubi perfetti, ma resta il fatto che i cristalli sono di fatto molto spesso forme geometriche semplici. Sulla qualit� della materia (o della �natura�) ci siamo gi� espressi a suo tempo [97], precisando che dal punto di vista fisico molto di ci� che percepiamo come qualit� � in realt� quantit�. Il meraviglioso scenario qualitativo del mondo � in fondo solo la gigantesca e multiforme apparenza di un mondo materiale pluralistico rigorosamente �quantitativo�. Il mondo peraltro si offre quantitativamente a molti livelli: non solo le masse e i volumi sono quantit� come le frequenze e le lunghezze d�onda (luce, colori, suoni, ecc.), ma lo sono anche le forme quali dimensioni quantitative orientate nello spazio.

��� La materia del nostro pianeta (solida, fluida, amorfa, cristallizzata, organizzata, ecc.) si d� sotto forma di volumi, masse, lunghezze, larghezze, altezze, profondit�, spessori, durezze, ecc.Tali connotazioni si danno con valori convenzionali sempre relativi a una scala di riferimento ed in rapporto ad oggetti tra loro simili o dissimili. �Percepire� gli oggetti e gli aspetti del mondo � quindi soprattutto �misurarli in rapporto a ��. e ci� anche se, in termini antropologico-esistenziali, la misurazione � esperienza marginale perch� � spesso la flagranza emozionale a guidarci. Sono infatti le emozioni a suscitare in noi le idee di qualit�, esse sono i veri agenti �effettuali� determinanti per la nostra esistenza in rapporto al ci� che ��non-noi�. Cerchiamo allora di immaginare come i nostri lontani progenitori (aldil� dell�aprioristica �divinizzazione� dell�oggetto-aspetto del mondo) abbiano potuto ad un certo punto della filogenesi razionalizzare e costruire la loro percezione del mondo attraverso �le sue cose� e �i suoi fatti�. L�uomo ha fabbricato col pensiero innumerevoli immagini del mondo giungendo a porsi domande circa la sua origine, la sua arch� [98]; e tanti erramenti cognitivi coninnumerevoli oziose peripezie cogitative sul cosmo avevano origine solo dall�ignorare la fenomenologia della materia e soprattutto che vi erano dei quanti di energia-massa a fondarla.

���� L�aritmetica, la geometria e l�algebrasono applicabili ai vari ambiti del reale, divenendo spesso strumenti indispensabili per la lettura della realt� strutturale sottostante ai fenomeni, che � sempre e solo quantitativa, quindi matematizzabile. Esse possono assumere forme differenti a seconda degli ambiti o degli oggetti specifici ai quali si applicano, lasciando all�immaginazione e alla creativit� umana di elaborarne sotto-sistemi ad hoc o farsi opere di genialit� �estetica�.Ci ricorda Graham Farmelo che Einstein, richiesto di definire la sua filosofia della fisica durante un seminario a Mosca nel 195, scrisse a caratteri cubitali su una lavagna: �Le leggi della fisica devono avere una bellezza matematica� [99], essendo indubitabile che la matematica, specialmente come geometria, abbia nella �storia della bellezza� un ruolo molto importante. La matematica, quanto pi� si specializza e si fraziona in branche tanto pi� assume connotazione astratte con possibilit� �estetiche�, le quali talvolta si scoprono poi attagliarsi anche a qualche contesto fisico. Sicch� l�idea che sia possibile alla mente umana di entrare in misteriosi �livelli pi� profondi� della realt�, astraendo dal percepibile ed osservabile � una prospettiva sempre affascinante, ma talvolta falsa e talvolta vera.

��� Un esempio recente e interessante riguarda Eulero (Leonhard Euler, 1707-1783), che com�� noto non era soltanto un grande matematico ma anche un grande mistico. Nel 1968 il fisico Gabriele Veneziano si accorge che una formula esoterica di Eulero (la funzione beta) debitamente adattata gli permette di risolvere alcuni problemi relativi all�interazione nucleare forte. Da questa constatazione e dalle riflessioni conseguenti � nata l�idea della �corda vibrante�,l�elemento primario di quella che sarebbe poi divenuta nota come Teoria delle Stringhe. Le estasi dell�uomo Eulero certamente non avevano nulla che fare con l�intima struttura della materia, ma le elaborazioni del matematico Eulero �invece s� o �forse s�. Il fatto � che l�intima struttura della materia � fatta da dei discreti (le particelle) e qualsiasi elaborazione matematica � fatta da discreti (i numeri o i loro simboli). Si comprende quindi bene perch� il �linguaggio dei discreti� descriva cos� bene un qualsiasi �sistema di discreti�. Ci� per� non significa affatto che la realt� fisica sia strutturata secondo la �nostra� matematica, ma semplicemente che, come gi� rilevava Galileo nel Saggiatore, le �parole� della matematica sono le stesse della fisica: i pluralistici discreti.

��� Essendo il mondo fisico un accadere-divenire costituito da discreti, esso si lascia leggere da un linguaggio dei discreti, ma essendo questi in continuo movimento, solo un linguaggio del movimento (o cinetico) � in grado di fornirne una descrizione compiuta e di formularne equazioni fenomeniche appropriate. Se quindi diremo che la matematica applicata alla fisica si presenta come linguaggio dei discreti cinetici ne avremo data una definizione accettabile, considerato che i discreti fissi sono solo i numeri astratti. Resta il problema dei modelli e delle simulazioni: essi sono scienza �del reale� oppure no? Le seconde lo sono certamente anche se solo virtuali rispetto ai fenomeni reali da cui derivano. In quanto ai modelli il problema � complesso e la modellistica simulativa non va confusa con la modellizzazione matematica, non solo perch� la prima pu� essere incoerente (rispetto alla realt�) mentre la seconda � obbligata ad essere coerente (rispetto agli assiomi), ma perch� la prima �esplora una possibilit�� e la seconda �crea un possibile�. Nella sua storia l�uomo ha fabbricato molti modelli matematici perfetti �possibili� ma pochi coerenti con la realt�, quindi poi archiviati come �impossibili�.

��� Anche la Teoria delle Superstringhe e la Teoria M sono modelli matematici perfetti, ma debbono essere considerati di carattere autoreferenziale sino a quando, se ci� accadr�, non troveranno conferma nella realt� fisica. La loro legittimit� veritativa sul cosmo, allo stato attuale, non � quindi maggiore dell�equazione esoterica di Eulero; per� sono belle, affascinanti e se non reali almeno �realistiche� in quanto pluralistiche. Eppure c�� gi� qualcuno che tende a sostituire le stringhe con �la� stringa, e alle brane �la� brana, tentando (ancora una volta!) di creare l�unit� metafisica come surrogazione nominale della pluralit� fisica. Ci� di cui i fisici teorici si debbono guardare � di cadere nella teologia dell�Uno-Tutto e soprattutto in quella del Microcosmo-Macrocosmo� [100]. Le altre invenzioni ed elaborazioni vanno degnate di considerazione, se non altro perch� un�equazione differenziale pu� nascere avulsa dalla realt�, ma essendo costruita con discreti cinetici analoghi agli elementi dell�essere pu� sempre risultare applicabile in qualche nicchia dell�essere. Emerge cos� una risposta plausibile alla domanda di Wigner: la matematica non ha un�efficacia irragionevole rispetto alla realt� fisica poich� ne � analogo formale essendo linguaggio di discreti fissi applicabile a discreti immobili virtuali (le masse �a riposo�) e linguaggio di discreti cinetici formalmente analoghi ai �reali�.

��� La struttura atomica � un sistema mentre il cosmo non � un sistema e tra i due estremi molto � sistemico, ma non tutto. Ancor meno � sistemica la matematica, anzi, tutte le sue degenerazioni sono dipese dall�aver preteso di farne �un� sistema, poich� tutt�al pi� essa � multisistemica. Richard Feynman come membro di una commissione californiana per gli studi matematici scriveva nel 1965:

 

Dobbiamo lasciare la mente libera di vagare alla ricerca della soluzione di un problema. Non porta alcun vantaggio introdurre nuovi argomenti se li si insegna alla vecchia maniera. Per usare la matematica in modo efficace si deve avere un certo atteggiamento mentale, ovvero sapere che vi sono molti modi di vedere un problema o un qualunque argomento. [�] Qual � il modo migliore per ottenere la soluzione di un problema? La risposta �: uno qualunque, basta che funzioni. [101]

 

Che un fisico abbia una visione pragmatica aperta e non sistemica della matematica pu� sembrare ovvio solo se si ignori quanti siano i teorici della fisica che la dogmatizzano con principi matematici. Non essendo sistemi n� il cosmo n� la matematica l�adeguatezza di una teoria rispetto ad un �supposto� sistema non c��, mentre lo pu� essere rispetto a sottosistemi quando essi siano gi� diventati fisicamente perspicui. Questo �paletto� gnoseologico va posto chiaramente, almeno per ammonire l�homo sapiens dal non cadere in quelle presunzioni teorizzanti sempre devastanti per la conoscenza, la quale, non dimentichiamolo mai, � �frutto dell�umilt��.

��� Se la matematica � indubbiamente il pi� straordinario strumento di approccio e connotazione della realt� cosmica � soltanto perch� essa concerne i discreti cinetici gli enti fisici e i loro meccanismi. L�operare reale (nella materia) o virtuale (nella matematica) con discreti dinamici analoghi fa s� che la realt� e la virtualit� siano corrispondenti e omogenee sul piano formalistico poich� lo sono assemblaggi, composizioni, rapporti e dinamiche. I numeri o i simboli algebrici, come i quanti, si prestano a dinamiche operazionali complesse e differenziate: nulla di sorprendente, quindi, se moltissime equazioni matematiche si attagliano al mondo fisico. Il fatto che la matematica sia pi� arbitraria e la fisica meno, non pregiudica il fatto che un�equazione matematica possa essere ritenuta �giusta� in rapporto al reale, e quando ci� accade la matematica �rivela� sempre molto di pi� di quanto dica e in ci� sta la sua utilit� straordinaria.

��� L�adeguatezza del linguaggio matematico al mondo fisico � un fatto reale ed � quindi tautologico rimarcarlo, poich� ci sarebbe semmai da stupirci se cos� non fosse. L�uomo � sempre pronto a rivendicare con enfasi le consonanze dei suoi pensieri con la realt�, salvo tacere di quelli che stridono con essa e che �non funzionano� per essa (funzionando per� benissimo �per lui� come soddisfazioni e gratificazione omeostatiche).Ribadiamo la nostra tesi sulla tendenza omeostatica della nostra psiche a perseguire il �soddisfacente-gratificante� e per nulla il reale. Se il pensiero matematico colga e legga il cosmo in maniera corretta � il dato fisico a dircelo, ma ci� non pu� mai significare che esso sia �intelligente� alla �nostra maniera� ed ancora meno che esso sia divino e che l�uomo, ricettacolo del divino, gli sia omogeneo. La mente umana essendo fatta di materia non pu� che operare secondo le leggi della materia (che � pluralistico-discreta e diveniente-evolutiva), n� questo significa che la �visione matematica� sia �il tutto� della materia. Questa si offre a noi soltanto (giusta l�osservazione di Galileo) come un libro �leggibile� in termini matematici

��� Un�ultima nota su una posizione estremistica che non condividiamo, vera pars destruens di tutte le concezioni sostanzialiste della matematica. quella di Hartley Field, che gi� nel Science without numbers del 1980 e poi nel successivo Realism, Mathematics and Modality del 1991 porta il suo affondo contro il realismo platonista ed i suoi similari in forza di un nominalismo assoluto e intransigente. Gli oggetti matematici sono secondo Field solo in parte indispensabili nella formulazione delle teorie fisiche e solo quando �praticamente� tali. Siccome gli oggetti matematici �nonesistono�, ma si pongono come utili strumenti di definizione della realt�, egli sostiene che �la matematica necessaria per l�applicazione al mondo fisico non include nulla che neppure a prima vista contiene riferimento ad oggetti astratti� [102]. La matematica se assunta in termini di realismo platonico va quindi considerata �falsa�, mentre bisogna andare alla ricerca dei suoi aspetti di conservativit�in senso nominalistico. Ci� significa che un�enunciazione matematica non � mai �vera�, ma serve se funziona. Una teoria conservativa della funzionalit� matematica nel senso posto da Field � infatti �compatibile con ogni stato del mondo fisico.� [103]Noi siamo d�accordo pensando che c�� assai pi� che meracompatibilit�: c�� �analogia operazionale�, perch� la matematica (o almeno molto di essa) �funziona� con ingredienti analoghi a quelli della la materia.

 

 

 

NOTE

 

[104] J.D.Barrow, Perch� il mondo � matematico?, cit., p.92

[105] R.Hersh, Cos�� davvero la matematica, Milano, Baldini & Castoldi 2003, p.15.

[106] Ivi, p.44.

[107] Ivi, p.45.

[108] Ivi, p.50.

[109] Ivi, p.51.

[110] Ivi, p.71.

[111] Ivi, p.78.

[112] Ivi, p.81

[113] Ivi, p.115.

[114] Ivi, p.153.

[115] Pi� avanti per� (p. 317) di .W dice: �La bestia nera di Wittgenstein era il platonismo: l�idea che la matematica esista fuori dell�attivit� umana. Rifiutava il platonismo filosofico dei suoi genitori Russell e Frege.�

[116] Ibidem.

[117] Ivi, p.367.

[118] Ivi, p.367.

[119] G.Lakoff - M.Johnson, Methaphors we live by, Chicago, University Press 1980.

[120] Gabriele Lolli (Filosofia della matematica, Bologna, Il Mulino 2002, p,157), che assimila le tesi cognitive di Lakoff e N��ez a quelle semiologiche di Brian Rotman, vede i loro studi come: �ideologicamente motivati all�interno di tendenze post-moderniste e condotte da persone incompetenti.�.��

[121] C.Tamagnone, La filosofia e la teologia filosofale, Firenze, Clinamen 2007, p.193 e p.201.

[122] H.Maturana-F.Varela, Autopoiesi e cognizione, Padova, Marsilio 1985, p.101.

[123] H.Maturana-F.Varela, L�albero della conoscenza, Milano, Garzanti 1987, p.203

[124] Ivi, p.174.

[125] G.Lakoff e R.E. N��ez, Da dove viene la matematica, Torino, Bollati Boringhieri 2005, pp.57-58

[126] Ivi, p.58.

[127] Ivi, p.75.

[128] Ivi, p.77

[129] Ivi, pp.79-80.

[130] Ivi, p.80

[131] Ivi, p.98.

[132] Ivi, p.117.

[133] Ivi, pp.134-135.

[134] Ivi, pp.137-138.

[135] Ivi, pp.142-143.

[136] Ivi, p.149.

[137] Ivi, pp.153-157.

[138] Ivi, p.200.

[139] Ivi, p.203.

[140] Lakoff e N��ez, cit, p.209.

[141] Ivi, p.227.

[142] Ivi, p.364.

[143] Ivi, p.413.

[144] Ivi, p.414.

[145] Ivi, p.415.

[146] Ivi, p.419.

[147] Ivi, p.423.

[148] Ivi, p.426.

[149] Ivi, p.430.

[150] Ivi, p.432.

[151] Ivi, p.437.

[152] Ivi, p.438.

[153] Ivi, p.542.

[154] Ibidem.

[155] K.Devlin, Il gene della matematica, Milano, Longanesi 2002, p.11.

[156] Ivi, p.14

[157] Ivi, p.15.

[158] Il termine inglese pattern � difficile da tradurre in italiano, perch� � in funzione del contesto dei fenomeni considerati, potendo significare forma, struttura, disposizione, distribuzione, ordine, schema, sistema o infine modello, che in questo caso � ritenuto dal traduttore il pi� vicino al senso originario.

[159] Ivi, pp.20-21.

[160] Ivi, pp.99-100.

[161] Ivi, p.100.

[162] Ivi, pp.174-175.

[163] Ivi, p.197.

[164] Ivi, p.199.

[165] Ivi, p.203.

[166] Ivi, p.204

[167] Ivi, p.205.

[168] Ivi, pp.209-211

[169] Ivi, pp.212-214

[170] Ivi, p.215.

[171] K.Devlin, L�istinto matematico, Milano, Raffaello Cortina 2007, p.2.

[172] Ivi, p.16.

[173] Ivi, p.21.

[174] Ivi, p.23.

[175] Ivi, pp.24-25.

[176] Ivi, p.25.

[177] Ivi, pp.32-34.

[178] Ivi, pp.35-36.

[179] Ivi, pp.39-42.

[180] Ivi, pp.42-43.

[181] Ivi, pp.46-52.

[182] Ivi, pp.53-56.

[183] Ivi, pp.66-68.

[184] Ivi, pp.68-72.

[185] Ivi, pp.80-81.

[186] Ivi, p.87

[187] Ivi, p.89.

[188] Ivi, pp.93-94.

[189] Ivi, pp.99-101.

[190] Ivi, p.129

[191] Ivi, p.157.

[192] Ivi, pp.158-162.

[193] Ivi, pp.178-186.

[194] Ivi, p.197.

[195] Ibidem.

[196] J.D.Barrow, Impossibilit�, cit., p.135.

[197] Ivi, p.138.

[198] Ivi, nota 13, p.366.

[199] Ivi, pp.136-137.

[200] C.Tamagnone, Necessit� e libert�, cit., pp.47-48 e pp.217-218.

[201] C.Tamagnone, Ateismo filosofico nel mondo antico, cit., pp.93-107.

[202] G. Farmelo, Dev�essere bella, in Equilibrio perfetto, Milano, Il Saggiatore 2005, p.14.

[203] C.Tamagnone, La filosofia e la teologia filosofale, cit., pp.103-108.

[204] R.Feynman, Deviazioni perfettamente ragionevoli dalle vie battute, Milano, Adelphi 2006, pp.342-343

[205] H.Field, Science without numbers, Oxford, Blackwell 1980, pp.1-2. (In: M.Piazza, cit., p.193.)

[206] Ivi, p.59.

 



 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 


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